Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович

Таблица умноженія

Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пиѳагора или, вѣрнѣе, одного изъ его позднѣйшихъ учениковъ, новопиѳагорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ всѣмъ слѣдуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также помѣщаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зрѣти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти крѣпко держати, всегда во устѣхъ обносити, чтобы во умѣ незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:

Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на распѣвъ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ариѳметикѣ таблица умноженія содержитъ въ себѣ обыкновенно произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 2×2 и кончая 9×9. Въ средніе вѣка смотрѣли на это дѣло иначе; тогда и въ ариѳметикѣ, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе примѣняли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія всѣхъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, слѣдовательно 360 произведеній, кромѣ того, квадраты всѣхъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 9×90. Всего набирается болѣе 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Вѣдь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинствѣ случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизмѣримо труднѣе приходилось ученивамъ средневѣковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше. [7]

Римляне, чтобы облегчить себѣ перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длиннѣйшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили всѣ числа до извѣстнаго предѣла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.

Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизвѣстная—Пиѳагорова таблица; ея мы не помѣщамъ, она есть въ каждомъ учебникѣ. Но есть еще фигура треугольника.

Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой формѣ:

Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинствѣ учебниковъ и объяснялось нѣсколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ послѣдовательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вмѣсто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, дѣйствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, чѣмъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ариѳметическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и помѣщались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встрѣчаемъ въ старыхъ ариѳметикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это яснѣе видно на примѣрѣ: чтобы составить, напримѣръ, 4×7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизбѣжны, если на дѣло смотрѣть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зрѣнія, и въ данномъ случаѣ съ той ошибочной точки зрѣнія, что будто бы чѣмъ объясненіе или способъ труднѣе, тѣмъ научнѣе. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобрѣтеніи разныхъ пріемовъ, не замѣчали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы стѣснялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумнѣе средневѣковой, она смотрѣла на науку практичнѣе и старалась сдѣлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умѣнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Намъ, привыкшимъ къ опредѣленному порядку умноженія, представляется чѣмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тѣмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дѣйствіи не встрѣчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измѣненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здѣсь они всѣ безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тѣмъ, которые болѣе всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное слѣдуетъ считать Адама Ризе, популярнаго нѣмецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ послѣднюю отдѣлку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды всѣхъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбцѣ; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ извѣстная цифра, и, слѣд., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между тѣмъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ мѣстомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, убѣдитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и болѣе скорые, но нѣтъ ни одного такого, который представлялъ бы менѣе возможности сбиться. Примѣра на первый способъ мы продѣлывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ сумѣетъ его придумать и рѣшить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія болѣе всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и тѣхъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбцѣ.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде всѣ эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не рѣшались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ имѣлъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Примѣръ:

Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда дѣтямъ понятнѣе будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случаѣ на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда дѣти поймутъ это и нѣсколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.